二次增长图上光谱 zeta 函数的尖锐谱渐近

我们研究无限不规则图在二次体积增长下的 Dirichlet Laplacian 的谱特性。考虑一个 exhaustion $G_n = B_{R_n}(x_0)$ 和被消元生成器 $L_n$ 的谱 zeta 值 $Z_n(1) = \operatorname{tr}(L_n^{-1})$。在图满足均匀二次体积增长（VG(2)）和 Poincare 不等式（PI）的假设下，我们建立了一个尖锐的渐近律。这些分析-几何假设暗示大尺度的规律性。此外，我们假设标准的定量同质化性质：一个与多项式收敛率一致的局部中心极限定理。该假设对我们的主要示例类成立，并暗示全局热核常数 $\mathcal{G} > 0$ 的存在（独立于 $x$）。特别是，懒散简单随机游走（LSRW）满足 $p_t(x,x) \sim \mathcal{G}/t$ 当 $t \to \infty$。我们的主要定理建立尖锐的渐近 $Z_n(1) = \mathcal{G},N_n \log N_n + O(N_n)$，其中 $N_n := |V(G_n)| \to \infty$ 当 $n \to \infty$。这意味着相对误差为 $O(1/\log N_n)$，常数仅取决于 $G$ 的结构参数。该结果超越了均匀晶格。对于 $\mathbb{Z}^2$，这给出常数识别 $\mathcal{G} = 2/\pi$，提供一个不包含 $\pi$ 输入的新极限公式（"无 $\pi$ 极限"）。我们的技术突显了在该临界、循环情形下同质化对谱渐近的鲁棒性。