具有非标准Weyl渐近的无限量子图上的精确迹公式与zeta函数

我们研究了一个量子哈密顿量，它由（负）拉普拉斯算子和半直线$\rz_{\geq0}$上强度为$\kappa>0$的$\delta$势无限链组成，并且等价于无限度量图上的单参数族拉普拉斯算子。该图由无限边链组成，度量结构由每条边分配区间$I_n=[0,l_n]$（$n\in\nz$）定义，边长$l_n=\frac{\pi}{n}$。我们证明，对于每个$\kappa>0$，该单参数族量子图具有纯离散且严格正谱，并证明了Dirichlet拉普拉斯算子是强预解意义下单参数族的极限。所得Dirichlet量子图的谱也是纯离散的。特征值由$\lambda_n=n^2$（$n\in\nz$）给出，重数为$d(n)$，其中$d(n)$表示除数函数。因此，我们可以将这个无限量子图的谱问题与Dirichlet著名的除数问题联系起来，并推导出特征值计数函数的非标准Weyl渐近$\mathcal{N}(\lambda)=\frac{\sqrt{\lambda}}{2}\ln\lambda +\Or(\sqrt{\lambda})$。基于精确迹公式——Voronoi求和公式，我们推导了波群迹、热核、预解式以及各种谱zeta函数的显式公式。这些结果使我们能够建立定义良好的（重整化）久期方程和基于图经典周期轨道的Selberg型zeta函数，我们为其推导了精确函数方程，并证明了黎曼猜想的类似物成立。