等径图上的 $Z$-不变质量拉普拉斯算子

我们引入了一族定义在等径图上涉及椭圆函数的单参数质量拉普拉斯算子 $(\Delta^{m(k)})_{k\in[0,1)}$。我们证明了 $\Delta^{m(k)}$ 的逆（即质量格林函数）的显式公式，该公式具有仅依赖于图的局部几何结构的显著性质，并计算了其渐近行为。我们研究了相应的随机有根生成森林统计力学模型。我们证明了无限体积 Boltzmann 测度和模型自由能的显式局部公式。我们表明该模型在 $k=0$ 处经历二阶相变，从而证明了 Kenyon 引入的拉普拉斯算子对应的生成树是临界的。我们证明了质量拉普拉斯算子 $(\Delta^{m(k)})_{k\in(0,1)}$ 提供了一族单参数的 $Z$-不变有根生成森林模型。当等径图还具有 $\mathbb{Z}^2$-周期性时，我们考虑了质量拉普拉斯算子特征多项式的谱曲线。我们提供了该曲线的显式参数化，并证明它是 Harnack 曲线且亏格为 $1$。我们进一步表明，每一个具有 $(z,w)\leftrightarrow(z^{-1},w^{-1})$ 对称性的亏格为 $1$ 的 Harnack 曲线都源于此类质量拉普拉斯算子。