图的 (n-2,2) 谱

我们研究了图的普通拉普拉斯谱的一个表示论细化。给定一个在 n 个顶点的图 G，可将其关联的元素记为 $$X_G=\sum_{ij\in E(G)} (ij)\in \C[S_n].$$ 在 S_n 的不可约表示中的作用产生图的谱不变量。标准表示 (n-1,1) 复原普通图拉普拉斯谱，需经元素仿射变换 $X_G=mI-L_G$ 即可，其中 $m=|E(G)|$。下一个分量 (n-2,2) 提供了第一个表示论修正。我们给出该分量的一个显式边空间模型，推导诱导算子的具体坐标公式，给出所有迹矩的概念公式，特化到树作为支持林图计数的普遍线性组合，然后显式计算前三个矩。第三矩以三边子图计数表示。我们还引入加权迹多项式，证明该加权细化已能从第二矩复原每棵树，除非存在单个特殊 n 值，此时第四矩即可。最后我们讨论与 Thi\'ery \cite{Thiery} 不变论方法的关系，并为树的无加权图同构问题提出更明确的支持林图轮廓猜想。