基于拉普拉斯特征值的网络拥塞界限及其在任意几何结构张量网络中的应用

将图的顶点嵌入树中以最小化某种重叠度量是计算机科学和物理学中的一个重要问题。本文我们考察了将 $n$ 个顶点的图 $G$ 的顶点双射嵌入到 $n$ 叶子的根二叉树 $\mathcal{T}$ 的叶子中的问题。嵌入的拥塞由删除 $\mathcal{T}$ 的任意顶点后由两个组成部分诱导的割的最大大小给出。我们证明，对于任意嵌入，拥塞位于 $\lambda_2(G)\cdot 2n/9$ 和 $\lambda_n(G)\cdot n/4$ 之间，其中 $0=\lambda_1(G)\le \cdots \le \lambda_n(G)$ 为 $G$ 的拉普拉斯特征值，并且存在一种嵌入使得拥塞最多为 $\lambda_n(G)\cdot 2n/9$。除了这些一般界限之外，我们确切地确定了超立方体和格子图的拥塞，并为随机正则图和 Erd\H{o}s-R\'e nyi 图获得渐近紧致的界限。我们进一步引入一种基于谱排序和动态规划的有效收缩程序，以在实际中产生低拥塞嵌入。数值实验在结构化图、随机图和量子电路的张量网络表示中验证了我们的理论界限并展示了所提出方法的有效性。这些结果在 terms of underlying graph structure 给出了 exact tensor network contraction 在内存和时间复杂度的新的谱界。