谱图理论中涉及图特征值线性组合的两个猜想

我们证明了谱极值图论中涉及图特征值线性组合的两个猜想。设 $\lambda_1(G)$ 为图 $G$ 的邻接矩阵的最大特征值，$\bar{G}$ 为 $G$ 的补图。一个优美的猜想指出，在 $n$ 个顶点上使 $\lambda_1(G) + \lambda_1(\bar{G})$ 最大的图是一个团与一个独立集的联图，其顶点数分别为 $\lfloor n/3\rfloor$ 和 $\lceil 2n/3\rceil$（若 $n \equiv 2 \pmod{3}$ 则为 $\lceil n/3\rceil$ 和 $\lfloor 2n/3\rfloor$）。我们利用分析方法在充分大的 $n$ 下解决了该猜想。我们的第二个结果涉及图 $G$ 的 $Q$-spread $s_Q(G)$，其定义为 $G$ 的无符号拉普拉斯矩阵最大特征值与最小特征值之差。Cvetković、Rowlinson 和 Simić 在 $2007$ 年猜想，具有最大 $Q$-spread 的唯一 $n$ 顶点连通图是通过向 $K_{n-1}$ 添加一条悬挂边所得的图。我们在充分大的 $n$ 下确认了该猜想。