关于图的拉普拉斯特征值分布

本论文的工作涉及研究图的拉普拉斯矩阵、归一化拉普拉斯矩阵、无符号拉普拉斯矩阵与距离无符号拉普拉斯矩阵的特征值。第1章中，我们给出谱图论的一些定义与简要介绍。第$2$章处理图$G$的$k$个最大拉普拉斯特征值之和$S_{k}(G)$与Brouwer猜想。我们对某些图类获得了$S_{k}(G)$的上界，并用以验证这些图类的Brouwer猜想。此外，我们对更一般的图类证明了Brouwer猜想。第$3$章中，我们研究图的拉普拉斯特征值与树的拉普拉斯能量猜想。我们完全证明了直径为$4$的树的拉普拉斯能量猜想。进一步，我们对所有至多具有$\frac{9n}{25}-2$个非悬挂顶点的树证明了该猜想。同时，我们获得了$n$阶树猜想成立的充分条件。第$4$章中，我们确定了正则图联并的归一化拉普拉斯谱并获得若干知名图的谱。作为联并的结果，我们获得了与有限循环群相关的幂图的归一化拉普拉斯谱。第$5$章中，我们找到了与有限交换环相关的正则图与零因子图的距离无符号拉普拉斯谱。同时，我们给出了广义距离矩阵谱半径的界。进一步，我们获得了二部图与树的广义距离能量。我们证明在全部连通二部图中完全二部图具有最小广义距离能量。此外，对于$\alpha\in \big(0, \frac{2n}{3n-2}\big)$，我们证明在全部树中星图具有最小广义距离能量。