图兰定理的两个猜想加强形式

我们研究图兰定理的两个谱图论猜想加强形式。令$\mu_1 \ge \ldots \ge \mu_n$表示具有$n$个顶点、$m$条边和团数$\omega(G)$的图$G$的特征值。图兰定理的简明版本为：对于团数$\omega(G)$，$n/(n - d)$是一个下界，其中$d$为平均度。我们的第一个猜想是：在此下界中$d$可被$\sqrt{s^+}$替代，其中$s^+$为正特征值平方和。我们对无三角形图、弱完美图、Kneser图以及几乎全体图证明了该猜想。我们也使用了多种软件工具来寻找反例。Nikiforov证明了图兰定理的一个谱版本：$$\mu_1^2 \le \frac{2m(\omega(G) - 1)}{\omega(G)}$$，而Bollob\'as与Nikiforov猜想对于$G \not = K_n$有$$\mu_1^2 + \mu_2^2 \le \frac{2m(\omega(G) - 1)}{\omega(G)}.$$对于我们的第二个猜想，我们提出：在该不等式中，对所有图，$(\mu_1^2 + \mu_2^2)$可被$\omega(G)$个最大特征值（若为正）的平方和替代。我们对弱完美图、Kneser图以及若干类强正则图证明了该猜想。我们也提供了实验证据并说明了该界的应用方式。Liu与Ning发表了一篇题为“谱图论中的未解决问题”的广泛综述，这两个猜想在其所列问题中分别位居第二和第四。