二分细分图的图兰数

给定图 $H$，图兰数 $ex(n,H)$ 是 $n$ 个顶点上无 $H$ 图的最大边数。我们在 Conlon、Janzer 和 Lee 近期关于二分图图兰数的猜想上取得进展，这进而推动了 Erd\H{o}s 与 Simonovits 猜想的进一步进展。设 $s,t,k\geq 2$ 为整数。令 $K_{s,t}^k$ 表示由完全二分图 $K_{s,t}$ 通过将其中每条边 $uv$ 替换为 $u$ 与 $v$ 间长度为 $k$ 且 $st$ 条替换路径内部不相交的路径所得的图。由 Bukh 与 Conlon 的一般定理可得 $ex(n,K_{s,t}^k)=\Omega(n^{1+\frac{1}{k}-\frac{1}{sk}})$。Conlon、Janzer 和 Lee 近期猜想对任意整数 $s,t,k\geq 2$，有 $ex(n,K_{s,t}^k)=O(n^{1+\frac{1}{k}-\frac{1}{sk}})$。除其他诸多结果外，他们证明了该猜想 $k=2$ 的情形。作为本文主要结果，我们证明了其对 $k=3,4$ 成立。我们的主要结果还给出了无穷多个新的所谓图兰指数：有理数 $r\in (1,2)$，使得存在二分图 $H$ 满足 $ex(n, H)=\Theta(n^r)$，这补充了 Jiang、Ma、Yepremyan，Kang、Kim、Liu，以及 Conlon、Janzer、Lee 近期所得列表。我们的方法基于 Conlon-Janzer-Lee 方法的推广。我们还指出该推广方法对所有 $k\geq 2$ 给出了 Conlon-Janzer-Lee 猜想的一个较弱版本。