带有有限匹配数的完全二分图的 Turán 数

设 $\mathscr{F}$ 为图族。若图 $G$ 不包含任何 $F\in \mathcal{F}$ 的子图，则称 $G$ 为 $\mathscr{F}$-免费图。图的 Turán 数 $ex(n, \mathscr{F})$ 为 $n$ 顶点 $\mathscr{F}$-免费图中边数的最大值。设 $M_{s}$ 为由 $s$ 个独立边组成的匹配。最近，Alon 和 Frank 确定了 $ex(n,\{K_{m},M_{s+1}\})$ 的确切值。Gerbner 获得了关于 $ex(n,\{F,M_{s+1}\})$ 的若干结果，当 $F$ 满足某些条件时。本文确定了当 $s, n$ 足够大时 $ex(n,\{K_{l,t},M_{s+1}\})$ 的确切值，其中 $3\leq l\leq t$。当 $n$ 足够大时，我们还表明 $ex(n,\{K_{2,2}, M_{s+1}\})=n+{s\choose 2}-\left\lceil\frac{s}{2}\right\rceil$ 当 $s\ge 12$ 时，以及 $ex(n,\{K_{2,t}, M_{s+1}\})=n+(t-1){s\choose 2}-\left\lceil\frac{s}{2}\right\rceil$ 当 $t\ge 3$ 且 $s$ 足够大时。