生成线性森林的图兰数公式

设 $\mathcal{F}$ 为一个图族。图兰数 $ex(n;\mathcal{F})$ 定义为阶为 $n$ 且不含 $\mathcal{F}$ 中图的图中边数的最大值。1959 年，Erd\H{o}s 与 Gallai 确定了 $M_{k+1}$（大小为 $k+1$ 的匹配）的图兰数如下：$$ex(n;M_{k+1})= \max\left\{\binom{2k+1}{2},\binom{n}{2}-\binom{n-k}{2}\right\}.$$ 此后，关于线性森林图兰数的研究大量出现。线性森林是指其连通分支均为路或孤立顶点的图。设 $\mathcal{L}_{n,k}$ 为所有阶为 $n$、含 $k$ 条边的线性森林的族。本文中，我们证明 $$ex(n;\mathcal{L}_{n,k})= \max \left\{\binom{k}{2},\binom{n}{2}-\binom{n-\left\lfloor \frac{k-1}{2}\right \rfloor}{2}+ c \right\},$$ 其中若 $k$ 为奇数则 $c=0$，否则 $c=1$。这确定了给定哈密顿补全数的非哈密顿图的最大边数，并作为特例解决了 \cite{WY} 中的两个公开问题。此外，我们表明主定理蕴含 Erd\H{o}s-Gallai 定理，并通过闭包与计数技术为其给出一个简短的新证明。最后，我们将定理推广为一个猜想，其蕴含著名的 Erd\H{o}s 匹配猜想。