关于有序森林的图兰数

有序图 $H$ 是顶点集上带线性次序的简单图。相应的图兰问题由 Pach 和 Tardos 首次研究，其问在不含 $H$ 作为有序子图的有 $n$ 个顶点的有序图中边的最大数目 $\text{ex}_<(n,H)$。已知除非 $H$ 是一类具有恰当 2-染色且一种颜色类完全先于另一类的森林，否则对某个正数 $\varepsilon=\varepsilon(H)$ 有 $\text{ex}_<(n,H) > n^{1+\varepsilon}$。在朝向 Pach 和 Tardos 猜想取得进展中，我们证明对某一意义下“退化”的所有此类森林成立 $\text{ex}_<(n,H) =n^{1+o(1)}$。该类包含此前已知有 $n^{1+o(1)}$ 上界的所有森林，以及新的例子。我们的证明基于密度增量论证。