关于 Erdős 的一个涉及大小为 Turán 数加一之图的问题

我们考虑有限简单图。给定图 $H$ 与正整数 $n$，$H$ 在阶 $n$ 下的 Tur\'{a}n 数记为 ${\rm ex}(n,H)$，即不含 $H$ 作为子图的阶 $n$ 图的最大边数。Erd\H{o}s 于 1990 年提出如下问题：“对于哪些图 $H$，每个具有 $n$ 个顶点与 ${\rm ex}(n,H)+1$ 条边的图都至少包含两个 $H$？或许这总是成立的。”我们通过证明如下结论以否定方式解决了该问题的第二部分：对每个整数 $k\ge 4$，存在一个阶为 $k$ 的图 $H$ 以及至少两个阶 $n$，使得存在一个阶为 $n$、大小为 ${\rm ex}(n,H)+1$ 的图恰好包含一个 $H$ 的副本。记 $C_4$ 为 $4$-圈。我们还证明了对每个满足 $6\le n\le 11$ 的整数 $n$，存在一个阶为 $n$、大小为 ${\rm ex}(n,C_4)+1$ 的图恰好包含一个 $C_4$ 的副本，但对于 $n=12$ 或 $n=13$，阶为 $n$、大小为 ${\rm ex}(n,C_4)+1$ 的图中 $C_4$ 的最小副本数为 $2$。