$C_{2l}$-free 图的数量

关于图 $H$ 最基本的问题之一是：在 $n$ 个顶点上有多少个 $H$-free 图？对于非二部图 $H$，自 1986 年 Erd\H{o}s、Frankl 和 R\"odl 证明了存在 $2^{(1 + o(1)) ex(n,H)}$ 个此类图以来，该问题的答案已广为人知。然而，对于二部图，已知结果要少得多：即使是较弱的界 $2^{O(ex(n,H))}$ 也仅在少数特殊情况下得到证明，如长度为四和六的圈，以及某些完全二部图。对于偶圈，Bondy 和 Simonovits 在 20 世纪 70 年代证明了 ex$(n,C_{2l}) = O( n^{1 + 1/l} )$，且该界被猜想是在隐含常数意义下紧的。在本文中，我们证明了 $n$ 个顶点上的 $C_{2l}$-free 图的数量至多为 $2^{O(n^{1 + 1/l})}$，从而证实了 Erd\H{o}s 的一个猜想。我们的证明使用了超图容器方法（hypergraph container method），该方法由 Balogh、Morris 和 Samotij，以及 Saxton 和 Thomason 近期（且独立地）提出，并结合了一个针对偶圈的新“平衡超饱和定理”（balanced supersaturation theorem）。此外，我们证明了对于某个 $c > 0$ 和无穷多个 $n$ 值，在 $n$ 个顶点上至少存在 $2^{(1 + c)ex(n,C_6)}$ 个 $C_6$-free 图，从而推翻了一个著名且自然的猜想。作为我们方法的进一步应用，我们基本上解决了关于 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图 $G(n,p)$ 中偶圈和完全二部图的所谓 Tur\'an 问题。