关于加倍 Johnson 图中无偶圈子图的研究

广义 Turán 数 ${\rm ex}(G,H)$ 是图 $G$ 的一个不含 $H$ 的子图的最大边数。它是经典 Turán 数 ${\rm ex}(n,H)$（即不含 $H$ 作为子图的 $n$ 个顶点图的最大边数）的一个重要推广。本文考虑加倍 Johnson 图 $J(n;k,k+1)$（其为超立方体图的二分子图）中无偶圈子图的最大边数。对任意固定的 $k\in\mathbb{Z}^+$ 和任意 $n\in\mathbb{Z}^+$ 且 $n\geq 2k+1$，我们给出了 ${\rm ex}(J(n;k,k+1),C_{2r})$ 的上界。我们还对任意 $k\in\mathbb{Z}^+$ 给出了 ${\rm ex}(J(2k+1;k,k+1),C_{2r})$ 的上界，其中 $J(2k+1;k,k+1)$ 称为加倍 Odd 图 $\widetilde{O}_{k+1}$。该上界推出对于 $r\geq 6$，$\widetilde{O}_{k+1}$ 的任意无 $C_{2r}$ 子图的边数为 $o(e(\widetilde{O}_{k+1}))$，这也蕴含了一个 Ramsey 型结果。