超图圈的 relative Turán 数

对于 $r$-一致超图 $H$ 与一族 $r$-一致超图 $\mathcal{F}$，relative Turán 数 $\mathrm{ex}(H,\mathcal{F})$ 是 $H$ 的一个无 $\mathcal{F}$ 子图中边数的最大值。本文针对某些超图圈族 $\mathcal{F}$（如 Berge 圈与松散圈）给出 $\mathrm{ex}(H,\mathcal{F})$ 的下界。特别地，若 $\mathcal{C}_\ell^3$ 表示所有 $3$-一致 Berge $\ell$-圈的集合，且 $H$ 是最大度数为 $\Delta$ 的 3-一致超图，我们证明 $$\mathrm{ex}(H,\mathcal{C}_4^{3})\ge \Delta^{-3/4-o(1)}e(H),$$ $$\mathrm{ex}(H,\mathcal{C}_5^{3})\ge \Delta^{-3/4-o(1)}e(H),$$ 且这些界除去 $o(1)$ 项外是紧的。