关于 Berge 超图的覆盖 Turán 数

对于固定的正整数集合 $R$，如果每条边的基数属于 $R$，我们称 $\mathcal{H}$ 为 $R$-一致超图，或 $R$-图。对于图 $G=(V,E)$，如果存在双射 $f: E(G) \to E(\mathcal{H})$ 使得对于每个 $e \in E(G)$，$e \subseteq f(e)$，则超图 $\mathcal{H}$ 被称为 Berge-$G$，记为 $BG$。在本文中，我们定义了超图中 Turán 数的一个变体，即覆盖 Turán 数，记为 $\hat{ex}_R(n, G)$，定义为在 $n$ 个顶点上无 Berge-$G$ 的 $R$-图的阴影图中的最大边数。我们给出了图的覆盖 Turán 数的一般上界，并确定了当宿主超图的一致性等于 $3$ 时所有图的覆盖 Turán 密度。