关于 Berge 超图的覆盖 Ramsey 数

对于固定的正整数集 R，若每条边的基数都属于 R，则称 ℋ 为 R-一致超图或 R-图。若 ℋ 的每对顶点都包含于某个超边中，则称 R-图 ℋ 为覆盖的。对于图 G=(V,E)，若存在单射 f: E(G)→E(ℋ) 使得对每个 e∈E(G) 有 e⊆f(e)，则称超图 ℋ 为 Berge-G，记作 BG。在本文中，我们定义一种新型 Ramsey 数，即覆盖 Ramsey 数，记作 R̂^R(BG_1, BG_2)，其为最小整数 n_0，使得对每个顶点数 n≥n_0 的覆盖 R-一致超图 ℋ 以及对 ℋ 的每种 2-边染色（蓝和红），都存在蓝色 Berge-G_1 或红色 Berge-G_2 子超图。我们证明对每个 k≥2，存在某个 c_k，使得对任意有限图 G_1 和 G_2，有 R(G_1,G_2) ≤ R̂^[k](BG_1,BG_2) ≤ c_k·R(G_1,G_2)^3。此外，我们证明对每个正整数 d 和 k，存在常数 c=c(d,k)，使得若 G 是最大度至多为 d 的 n 顶点图，则 R̂^[k](BG,BG) ≤ cn。