关于极小Ramsey图与多色Ramsey等价性
组合数学
2020-08-12 v2
摘要
对于整数 q≥2,若图 G 的边的一切 q-着色都包含 H 的单色拷贝,则称 G 为 H 的 q-Ramsey 图。若 G 是 H 的 q-Ramsey 图,但其任意真子图都不具有该性质,则称 G 为 H 的 q-Ramsey-极小图。我们将 Burr、Nešetřil 和 Rödl 于 1977 年提出的一个命题推广如下:对于 q≥3,若图 G 不是某个图 H 的 q-Ramsey 图,则只要 H 是 3-连通的或与三角形同构,G 就作为诱导子图包含在 H 的无穷多个 q-Ramsey-极小图中。对于这样的 H,有以下一些推论。(1) 对于 2≤r<q,H 的每个 r-Ramsey-极小图都作为诱导子图包含在 H 的无穷多个 q-Ramsey-极小图中。(2) 对每个 q≥3,存在 H 的 q-Ramsey-极小图具有任意大的最大度、亏格和色数。(3) 集合族 {M_q(H): H 是 3-连通的或 K_3} 关于子集关系构成一个反链,其中 M_q(H) 表示所有 H 的 q-Ramsey-极小图组成的集合。我们还探讨了哪些图对满足 M_q(H_1)=M_q(H_2),此时称 H_1 和 H_2 为 q-等价的。我们证明若两个图 H_1 和 H_2 是 2-等价的,则它们是偶数 q 下的 q-等价的;并且一般地,某个 q≥3 下的 q-等价未必蕴含 2-等价。最后我们指出对于连通图该蕴含可能成立:Nešetřil 和 Rödl 以及 Fox、Grinshpun、Liebenau、Person 和 Szabó 的结果表明完全图不与任何其他连通图 2-等价。我们证明对于任意数量的颜色这都是成立的。
引用
@article{arxiv.1809.09232,
title = {On minimal Ramsey graphs and Ramsey equivalence in multiple colours},
author = {Dennis Clemens and Anita Liebenau and Damian Reding},
journal= {arXiv preprint arXiv:1809.09232},
year = {2020}
}