近完全图的最小 Ramsey 图的最小度

对于图 $F$ 和 $H$，如果 $F$ 的边的每种 $2$-染色都包含一个单色的 $H$ 拷贝，则称 $F$ 对 $H$ 是 Ramsey 的。如果 $F$ 对 $H$ 是 Ramsey 的，且不存在 $F$ 的真子图 $F'$ 使得 $F'$ 对 $H$ 是 Ramsey 的，则称图 $F$ 是 Ramsey $H$-极小的。Burr、Erdos 和 Lovasz 定义 $s(H)$ 为所有 Ramsey $H$-极小图 $F$ 中 $F$ 的最小度。定义 $H_{t,d}$ 为一个具有 $t+1$ 个顶点的图，由一个 $t$ 个顶点的完全图和一个度为 $d$ 的附加顶点组成。我们证明对于所有 $1<d\le t$ 的值，$s(H_{t,d})=d^2$；此前已知 $s(H_{t,1})=t-1$，因此 $s(H_{t,2})=4$ 小得多这一事实令人惊讶。我们在一些更稀疏的图上也取得了一些进一步进展。Fox 和 Lin 观察到对于所有图 $H$，$s(H)\ge 2\delta(H)-1$，其中 $\delta(H)$ 是 $H$ 的最小度；Szabo、Zumstein 和 Zurcher 研究了哪些图具有此性质，并猜想所有不含孤立顶点的二分图 $H$ 都满足 $s(H)=2\delta(H)-1$。Fox、Grinshpun、Liebenau、Person 和 Szabo 进一步猜想所有不含孤立顶点的无三角形图都满足此性质。我们证明，在满足一个额外技术约束的情况下，$d$-正则 $3$-连通无三角形图 $H$ 满足 $s(H) = 2\delta(H)-1$；该额外约束是 $H$ 存在一个顶点 $v$，使得从 $H$ 中移除 $v$ 及其邻域后，剩余部分仍是连通的。