半代数与半线性超图的拉姆齐数

一个 $r$-一致超图 $H$ 若其顶点对应于 $\mathbb{R}^{d}$ 中的点，且其边由 $m$ 个 $D$ 次多项式的符号模式确定，则称其为复杂度 $\mathbf{t}=(d,D,m)$ 的半代数超图。有界复杂度的半代数超图为研究几何定义的超图提供了通用框架。被广泛研究的半代数拉姆齐数 $R_{r}^{\mathbf{t}}(s,n)$ 表示最小的 $N$，使得每个含 $N$ 个顶点、复杂度 $\mathbf{t}$ 的 $r$-一致半代数超图要么含有大小为 $s$ 的团，要么含有大小为 $n$ 的独立集。Conlon、Fox、Pach、Sudakov 和 Suk 证明了 $R_{r}^{\mathbf{t}}(n,n)<\mbox{tw}_{r-1}(n^{O(1)})$，其中 $\mbox{tw}_{k}(x)$ 为高度 $k$、顶端为 $x$ 的 2 的幂塔。若 $\min\{d,D,m\}$ 相对于 $r$ 足够大，该上界也是最优可能的。他们猜想在非对称情形下有 $R_{3}^{\mathbf{t}}(s,n)<n^{O(1)}$（固定 $s$）。我们反驳该猜想，证明对某一复杂度 $\mathbf{t}$ 有 $R_{3}^{\mathbf{t}}(4,n)>n^{(\log n)^{1/3-o(1)}}$。此外，受 Bukh 与 Matoušek 以及 Basit、Chernikov、Starchenko、Tao 和 Tran 的结果启发，我们研究当定义多项式为线性即 $D=1$ 时拉姆齐问题的复杂度。特别地，我们证明 $R_{r}^{d,1,m}(n,n)\leq 2^{O(n^{4r^2m^2})}$，而从下界我们建立 $R^{1,1,1}_{r}(n,n)\geq 2^{\Omega(n^{\lfloor r/2\rfloor-1})}$。