关于 3-一致 Berge 圈的拉姆齐数

对于任意图 $G$，如果存在一个双射 $\Phi :E(G)\longrightarrow E( \mathcal{H})$，使得对于每个 $e\in E(G)$，都有 $e\subseteq \Phi (e)$，则称超图 $\mathcal{H}$ 为 Berge-$G$。我们用 $\mathcal{B}^rG$ 表示 $r$-一致 Berge-$G$ 超图的族。对于 $r$-一致超图的族 $\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2,\ldots, \mathcal{H}_t$，拉姆齐数 $R(\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2,\ldots, \mathcal{H}_t)$ 是满足以下条件的最小整数 $n$：在 $\mathcal{K}_{n}^r$ 的任意 $t$-超边染色中，对于某个 $1\leq i\leq t$，存在一个颜色为 $i$ 的 $\mathcal{H}_i$ 中超图的单色副本。最近，许多研究者研究了 Berge 超图的拉姆齐问题。在本文中，我们关注涉及 $3$-一致 Berge 圈的拉姆齐数，并证明对于 $n \geq 4$，有 $R(\mathcal{B}^3C_n,\mathcal{B}^3C_n,\mathcal{B}^3C_3)=n+1.$ 此外，对于 $m \geq n\geq 6$ 且 $m\geq 11$，我们证明 $R(\mathcal{B}^3K_m,\mathcal{B}^3C_n)= m+\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor -1.$ 这是针对两个不同 Berge 超图族的拉姆齐数的首个结果。