Berge-超图及相关结构的拉姆齐数

对于图 $G=(V,E)$，若存在一个双射 $f: E(G) \to E(\mathcal{H})$ 使得对每个 $e \in E(G)$ 有 $e \subseteq f(e)$，则称超图 $\mathcal{H}$ 为 Berge-$G$，记作 $BG$。令拉姆齐数 $R^r(BG,BG)$ 为最小整数 $n$，使得对具有 $n$ 个顶点的完全 $r$-一致超图的任意 $2$-边染色，均存在一个单色 Berge-$G$ 子超图。本文中，我们证明了 Berge 团的 2-色拉姆齐数是线性的。特别地，我们证明了对于 $s,t \geq 4$ 且 $\max(s,t) \geq 5$，有 $R^3(BK_s, BK_t) = s+t-3$，其中 $BK_n$ 为 Berge-$K_n$ 超图。对于更高一致性，我们证明了对于 $t\geq 6$ 有 $R^4(BK_t, BK_t) = t+1$，以及对于 $k \geq 5$ 且 $t$ 充分大时有 $R^k(BK_t, BK_t)=t$。我们还研究了迹超图、悬挂超图和扩张超图的拉姆齐数。