鲁萨姆数反例检查与单顶点扩展线性受s与t制约

鲁萨姆数 $R(s,t)$ 是指所有大小为 $n$ 的图中必包含大小为 $s$ 的完全子图或大小为 $t$ 的独立集的最小整数。$\mathcal{R}(s,t,n)$ 为给定 $n$ 的所有反例图的集合，即不具备该性质的图。我们证明：若大小为 $n+1$ 的图 $G_{n+1}$ 包含 $\max\{s,t\}+1$ 个反例图 $\mathcal{R}(s,t,n)$ 中的子图，则 $G_{n+1}$ 必在 $\mathcal{R}(s,t,n+1)$ 中。在此基础上，我们引入用于单顶点扩展和反例检查的算法，其运行时间线性受 $s$ 与 $t$ 的制约。我们通过验证 $\mathcal{R}(4,6,36)$ 和 $\mathcal{R}(5,5,43)$ 为空（给定当前集合 $\mathcal{R}(4,6,35)$ 和 $\mathcal{R}(5,5,42)$），展示了这些算法的实用性。