色临界图与大广义扇的拉姆齐数

给定两个图 $G$ 和 $H$，{拉姆齐数} $R(G,H)$ 是最小的正整数 $N$，使得 $K_{N}$ 边的每种 2-染色都包含红色 $G$ 或蓝色 $H$。令 $K_{N-1}\sqcup K_{1,k}$ 为从 $K_{N-1}$ 通过添加一个新顶点 $v$ 并连接 $K_{N-1}$ 中 $k$ 个顶点所得的图。Hook 和 Isaak (2011) 定义了{\em 星临界拉姆齐数} $r_{*}(G,H)$ 为最小的整数 $k$，使得 $K_{N-1}\sqcup K_{1,k}$ 边的每种 2-染色都包含红色 $G$ 或蓝色 $H$，其中 $N=R(G, H)$。对于充分大的 $n$，Li 和 Rousseau~(1996) 证明了 $R(K_{k+1},K_{1}+nK_{t})=knt +1$，Hao、Lin~(2018) 证明了 $r_{*}(K_{k+1},K_{1}+nK_{t})=(k-1)tn+t$；Li 和 Liu~(2016) 证明了 $R(C_{2k+1}, K_{1}+nK_{t})=2nt+1$，Li、Li 和 Wang~(2020) 证明了 $r_{*}(C_{2m+1},K_{1}+nK_{t})=nt+t$。若图 $G$ 满足 $\chi(G)=k+1$ 且为边临界图，即 $G$ 含有一条边 $e$ 使得 $\chi(G-e)=k$，则称为边临界图。本文推广了上述结果，证明了对于满足 $\chi(G)=k+1$ 的边临界图 $G$，当 $k\geq 2$、$t\geq 2$ 且 $n$ 充分大时，$R(G, K_{1}+nK_{t})=knt+1$ 且 $r_{*}(G,K_{1}+nK_{t})=(k-1)nt+t$。