星临界 Ramsey 数与星的常规 Ramsey 数

设 $G$ 为一图，$H$ 为 $G$ 的子图，$G- H$ 为从 $G$ 中删去一个 $H$ 的拷贝所得的图。设 $K_{1, n}$ 为含 $n+ 1$ 个顶点的星图。设 $t\geq 2$ 为整数，$H_{1}, \dots, H_{t}$ 与 $H$ 为图，并令 $H\rightarrow (H_{1}, \dots, H_{t})$ 表示对 $E(H)$ 的每种 $t$ 着色都会在某个 $i\in [t]$ 下得到颜色 $i$ 的 $H_{i}$ 的单色拷贝。Ramsey 数 $r(H_{1}, \dots, H_{t})$ 是使得 $K_{N}\rightarrow (H_{1}, \dots, H_{t})$ 成立的最小整数 $N$。星临界 Ramsey 数 $r_{*}(H_{1}, \dots, H_{t})$ 是最小整数 $k$，使得 $K_{N}- K_{1, N- 1- k}\rightarrow (H_{1}, \dots, H_{t})$，其中 $N= r(H_{1}, \dots, H_{t})$。设 $rr(H_{1}, \dots, H_{t})$ 为 $H_{1}, \dots, H_{t}$ 的常规 Ramsey 数，即最小整数 $r$，使得若 $G$ 是含 $r(H_{1}, \dots, H_{t})$ 个顶点的 $r$-正则图，则 $G\rightarrow (H_{1}, \dots, H_{t})$。设 $m_{1}, \dots, m_{t}$ 为大于一的整数，其中恰有 $k$ 个为偶数。本文中，我们证明若 $k\geq 2$ 为偶数，则 $r_{*}(K_{1, m_{1}}, \dots, K_{1, m_{t}})= \sum_{i= 1}^{t} m_{i}- t+ 1- \frac{k}{2}$，这反驳了 Budden 与 DeJonge 于 2022 年提出的一个猜想。此外，我们证明若 $k\geq 2$ 为偶数，则 $rr(K_{1, m_{1}}, \dots, K_{1, m_{t}})= \sum_{i= 1}^{t} m_{i}- t$；否则 $rr(K_{1, m_{1}}, \dots, K_{1, m_{t}})= \sum_{i= 1}^{t} m_{i}- t+ 1$。