图的星临界Gallai-Ramsey数

Gallai-Ramsey数 $gr_{k}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$ 是最小整数 $n$，使得每个 $k$-边染色的 $K_{n}$ 包含彩虹 $K_3$ 或某个 $i\in [k]$ 下颜色 $i$ 的单色 $H_{i}$。我们寻找可从 $K_n$ 中移除的最大星图，使得底层图仍被迫具有彩虹 $K_3$ 或某个 $i\in [k]$ 下颜色 $i$ 的单色 $H_{i}$。因此，我们定义星临界Gallai-Ramsey数 $gr_{k}^{*}(K_3: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$ 为最小整数 $s$，使得每个 $k$-边染色的 $K_{n}-K_{1, n-1-s}$ 包含彩虹 $K_3$ 或某个 $i\in [k]$ 下颜色 $i$ 的单色 $H_{i}$。当 $H=H_{1}=\cdots=H_{k}$ 时，我们简记 $gr_{k}^{*}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$ 为 $gr_{k}^{*}(K_{3}: H)$。我们确定了完全图及若干小图的星临界Gallai-Ramsey数。此外，我们证明若 $H$ 非二部图则 $gr_{k}^{*}(K_3: H)$ 关于 $k$ 指数增长，若 $H$ 为二部图但非星图则关于 $k$ 线性增长，若 $H$ 为星图则为常数（不依赖于 $k$）。