$C_9$ 的多色 Gallai-Ramsey 数

我们研究 Gallai-染色中的 Ramsey 型问题。给定图 $G$ 和整数 $k\ge1$，Gallai-Ramsey 数 $gr_k(K_3,G)$ 是最小的正整数 $n$，使得 $n$ 个顶点的完全图的每条边 $k$-染色要么包含一个彩虹三角形，要么包含 $G$ 的单色副本。结果表明，$gr_k(K_3, G)$ 的行为比经典 Ramsey 数 $r_k(G)$ 更好。然而，求 $gr_k (K_3, G)$ 的精确值绝非易事。在本文中，我们证明了对所有 $k\ge1$，$gr_k(K_3, C_9)= 4\cdot 2^k+1$。这一新结果为 Bondy 和 Erd\H{o}s 于 1973 年提出的三奇圈猜想的首个未决情形提供了部分证据。我们的方法很大程度上依赖于 Gallai 关于无彩虹三角形的完全图边染色的结构结果。我们相信，我们开发的方法可用于确定奇整数 $n\ge11$ 时 $gr_k(K_3, C_n)$ 的精确值。