$C_9$ 与 $C_{11}$ 的多色 Gallai-Ramsey 数

Gallai 着色是完全图边的一种无彩虹三角形的着色,而 Gallai $k$-着色是使用 $k$ 种颜色的 Gallai 着色。我们研究 Gallai 着色中的 Ramsey 型问题。给定整数 $k\ge1$ 与图 $H$,Gallai-Ramsey 数 $GR_k(H)$ 是最小正整数 $n$,使得完全图(含 $n$ 个顶点)的任意 Gallai $k$-着色均包含 $H$ 的单色副本。事实证明 $GR_k(H)$ 比经典 Ramsey 数 $R_k(H)$ 更具规律性。然而,求 $GR_k(H)$ 的精确值远非平凡。本文中,我们研究奇圈的 Gallai-Ramsey 数。我们证明对 $n\in\{4,5\}$ 及所有 $k\ge1$,有 $GR_k(C_{2n+1})= n\cdot 2^k+1$。这一新结果为 Bondy 与 Erd\H{o}s 于 1973 年提出的三奇圈猜想(Triple Odd Cycle Conjecture)的前两个开放情形提供了部分证据。我们的技术严重依赖于 Gallai 关于完全图 Gallai 着色的结构结果。我们相信所开发的方法可用于确定对所有 $n\ge6$ 的 $GR_k(C_{2n+1})$ 精确值。