带弦偶圈的Gallai-Ramsey数

对于图$H$和整数$k\ge1$，$k$-色Ramsey数$R_k(H)$是满足以下条件的最小整数$N$：对完全图$K_N$的边进行任意$k$-着色，都包含一个单色的$H$副本。令$C_m$表示具有$m\ge4$个顶点的圈，令$\Theta_m$表示通过在$C_m$中添加一条连接两个非连续顶点的额外边所得到的图族。与奇圈的Ramsey数不同，除了对所有$k\ge2$和$n\ge2$有$R_k(C_{2n})\ge (n-1)k+n+k-1$之外，人们对$R_k(C_{2n})$的一般行为知之甚少。本文研究在Gallai着色下带弦偶圈的Ramsey数，其中Gallai着色是指完全图的边着色中不含彩虹三角形。对于整数$k\geq 1$，图$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是满足以下条件的最小正整数$N$：对完全图$K_N$的任意Gallai $k$-着色，都包含一个单色的$H$副本。我们证明，对所有$k\geq 2$和$n\geq 3$，有$GR_k(\Theta_{2n})=(n-1)k+n+1$。这意味着对所有$k\geq 2$和$n\geq 3$，有$GR_k(C_{2n})=(n-1)k+n+1$。我们的结果为所有至少具有四个顶点的偶圈的Gallai-Ramsey数提供了一个统一的证明。