奇圈 Gallai-Ramsey 数的改进上界
摘要
完全图的 Gallai 着色是一种边着色，使得没有三角形其三条边被着以不同颜色。Gallai k-着色是使用 k 种颜色的 Gallai 着色。给定整数 k≥1 和图 H，Gallai-Ramsey 数 GR_k(H) 是最小正整数 n，使得完全图 K_n 的每种 Gallai k-着色都包含 H 的单色拷贝。Gyárfás、Sárközy、Sebő 和 Selkow 在 2010 年证明：若 H 非二部，则 GR_k(H) 关于 k 是指数级的；若 H 是二部但不是星图，则关于 k 是线性的；而当 H 是星图时是常数(不依赖于 k)。因此，GR_k(H) 比经典 Ramsey 数 R_k(H) 性质更好。然而，即使当 |V(H)| 很小时，求 GR_k(H) 的精确值也远非平凡。本文中，我们首先改进了奇圈 Gallai-Ramsey 数的现有上界，证明对所有 k≥3 和 n≥8 有 GR_k(C_{2n+1}) ≤ (n ln n)·2^k -(k+1)n+1。然后我们证明对所有 k≥1 有 GR_k(C_{13})= 6·2^k+1 和 GR_k(C_{15})= 7·2^k+1。
引用
@article{arxiv.1808.09963,
title = {Improved Upper Bounds for Gallai-Ramsey Numbers of Odd Cycles},
author = {Christian Bosse and Zi-Xia Song and Jingmei Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1808.09963},
year = {2018}
}
备注
31 pages, 3 figures. arXiv admin note: text overlap with arXiv:1802.06503 The contents of this paper have been presented at multiple conferences by authors Bosse and Song. We would like to point out that both Ingo Schiermeyer and Colton Magnant attended our talks multiple times, and were therefore well aware of our results prior to their recent publication on this subject