$C_{10}$与$C_{12}$的Gallai-Ramsey数

Gallai着色是不含彩虹三角形的完全图边着色，而Gallai $k$-着色是使用$k$种颜色的Gallai着色。给定整数$k\ge1$与图$H_1, \ldots, H_k$，Gallai-Ramsey数$GR(H_1, \ldots, H_k)$是最小整数$n$，使得完全图$K_n$的每一个Gallai $k$-着色都包含某个$i \in \{1, \ldots, k\}$下颜色$i$的$H_i$的单色拷贝。当$H = H_1 = \cdots = H_k$时，我们简记为$GR_k(H)$。我们继续研究偶圈与路的Gallai-Ramsey数。对所有$n\ge3$与$k\ge1$，令$G_i=P_{2i+3}$为所有$i\in\{0,1, \ldots, n-2\}$上含$2i+3$个顶点的路，且$G_{n-1}\in\{C_{2n}, P_{2n+1}\}$。令对所有$j\in\{1, \ldots, k\}$有$i_j\in\{0,1,\ldots, n-1\}$且$i_1\ge i_2\ge\cdots\ge i_k$。Song近期猜想$GR(G_{i_1}, \ldots, G_{i_k}) = 3+\min\{i_1, n^*-2\}+\sum_{j=1}^k i_j$，其中当$G_{i_1}\ne P_{2n+1}$时$n^* =n$，当$G_{i_1}= P_{2n+1}$时$n^* =n+1$。该猜想已对$n\in\{3,4\}$及所有$k\ge1$被验证成立。本文中，我们证明上述猜想对$n \in\{5, 6\}$及所有$k \ge1$成立。我们的结果意味着对所有$k \ge 1$，当$n\in\{5,6\}$时$GR_k(C_{2n}) = GR_k(P_{2n}) = (n-1)k+n+1$，且当$1\le n \le6$时$GR_k(P_{2n+1})= (n-1)k+n+2$。