关于偶圈和路的 Gallai-Ramsey 数的猜想

Gallai 染色是对完全图边的一种没有彩虹三角形的染色，而 Gallai $k$-染色是使用至多 $k$ 种颜色的 Gallai 染色。给定整数 $k\ge1$ 和图 $H_1, \ldots, H_k$，Gallai-Ramsey 数 $GR(H_1, \ldots, H_k)$ 是最小的整数 $n$，使得完全图 $K_n$ 的每一个 Gallai $k$-染色都包含某个 $i \in \{1,2, \ldots, k\}$ 的颜色为 $i$ 的 $H_i$ 的单色副本。当 $H = H_1 = \cdots = H_k$ 时，我们简写为 $GR_k(H)$。我们研究偶圈和路的 Gallai-Ramsey 数。对于所有 $n\ge3$ 和 $k\ge2$，设 $G_i=P_{2i+3}$ 为具有 $2i+3$ 个顶点的路，其中 $i\in\{0,1, \ldots, n-2\}$，且 $G_{n-1}\in\{C_{2n}, P_{2n+1}\}$。设对所有 $j\in\{1,2, \ldots, k\}$，$i_j\in\{0,1,\ldots, n-1 \}$ 且 $i_1\ge i_2\ge\cdots\ge i_k$。第一作者最近猜想 $GR(G_{i_1}, G_{i_2}, \ldots, G_{i_k}) = |G_{i_1}|+\sum_{j=2}^k i_j$。该猜想的正确性意味着对于所有 $n\ge3$ 和 $k\ge1$，$GR_k(C_{2n})=GR_k(P_{2n})=(n-1)k+n+1$，以及对于所有 $n\ge1$ 和 $k\ge1$，$GR_k(P_{2n+1})=(n-1)k+n+2$。在本文中，我们证明上述猜想对于 $n\in\{3,4\}$ 和所有 $k\ge2$ 成立。我们的证明仅依赖于 Gallai 的结果和经典 Ramsey 数 $R(H_1, H_2)$，其中 $H_1, H_2\in\{C_8, C_6, P_7, P_5, P_3\}$。我们相信这里开发的重新染色方法对解决后续情况乃至该猜想将非常有用。