与Gallai着色相关的极值问题与结果

Gallai着色（Gallai-$k$-着色）是指完全图的一种边着色（颜色取自$\{1, 2, \ldots, k\}$），其中不含彩虹三角形。给定图$H$和正整数$k$，$k$色Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小整数$n$，使得完全图$K_n$的每一种Gallai-$k$-着色都包含$H$的单色拷贝。本文考虑两个与Gallai-$k$-着色相关的极值问题。首先，我们确定了在$K_n$的$k$边着色中，不包含于任何彩虹三角形或单色三角形的边数的最大值的上界和下界。其次，对于$n\geq GR_k(K_3)$，我们确定了$K_{n}$的Gallai-$k$-着色中单色三角形数目的最小值的上界和下界，并给出了$k=3$时的精确值。此外，我们确定了由五个顶点构成、即在$K_4$上带一条悬挂边的图的Gallai-Ramsey数$GR_k(K_4+e)$。