无三色三角形的完全图中色度序列的完整刻画

对于边着色完全图，我们将一个节点的色度定义为与其关联的边上出现的颜色数。本文考虑不含三色三角形（亦称彩虹三角形）的着色；这类着色也称为 Gallai 着色。我们给出在 $K_n$ 的 Gallai 着色上可能出现的全部色度序列 $d_1 \le d_2 \le \dots \le d_n$ 的完整刻画：对所有 $1 \le k \le n$，条件 $$\sum_{i = k}^n \frac{1}{2^{d_i - d_{k-1}}} \ge 1$$ 成立是必要且充分的，其中为方便起见令 $d_0=0$。作为一个推论，这给出了 Fujita、Li 与 Zhang 在 2018 年结果（他们证明了此类着色中的最小色度至多为 $\log_2n$）的另一种证明。