Gallai 着色中颜色的分布

Gallai 着色是一种避免被三种不同颜色着色的三角形的边着色。给定整数 $e_1\ge e_2 \ge \dots \ge e_k$，且对某个 $n$ 有 $\sum_{i=1}^ke_i={n \choose 2}$，是否存在一个 $K_n$ 的 Gallai $k$-着色，使得颜色 $i$ 有 $e_i$ 条边？本文中，我们给出若干充分条件和一条必要条件以保证对上述问题的肯定回答。特别地，我们证明当 $e_1-e_k\le 1$ 且 $k \le \lfloor n/2\rfloor$ 时 Gallai 着色的存在性。我们证明对任意整数 $k\ge 3$，存在（唯一的）整数 $g(k)$ 具有如下性质：对每个满足 $\sum_{i=1}^ke_i={n\choose 2}$ 的 $e_1\le\dots \le e_k$，存在颜色 $i$ 有 $e_i$ 条边的 $K_n$ 的 Gallai $k$-着色，当且仅当 $n\ge g(k)$。我们给出 $g(3)=5$、$g(4)=8$，且对每个 $k\ge 3$ 有 $2k-2\le g(k)\le 8k^2+1$。