若干图类的平衡数与列表平衡数

给定图 $G$，若能在 $K_n$ 的边二染色中找到一个 $G$ 的拷贝，使其一半边属于每种颜色类，则称该染色包含 $G$ 的一个平衡拷贝。若存在整数 $k$，使得对充分大的 $n$，每种颜色边数均超过 $k$ 的每一个 $K_n$ 的边二染色都包含 $G$ 的平衡拷贝，则称 $G$ 是可平衡的。使上述成立的最小整数 $k$ 称为 $G$ 的平衡数。本文通过考虑 $K_n$ 的 2-列表边染色定义了一种更一般的平衡数变体——列表平衡数，其中每条边 $e$ 关联一个列表 $L(e)$，它是颜色集 $\{r,b\}$ 的非空子集。此时，$L(e) = \{r,b\}$ 的边起到百搭牌的作用，其颜色可按需选为 $r$ 或 $b$。与平衡数不同，每个图都有列表平衡数。此外，若平衡数存在，则其与列表平衡数一致。我们给出了除 $4k$-圈外所有圈的列表平衡数的精确值，并对 $4k$-圈给出了紧界。另外，我们基于其子图的极值数给出了不可平衡图的列表平衡数的一般界，并研究了 $K_5$ 的列表平衡数，其结果出奇地大。