色平衡完全图中的近色平衡完美匹配

对图$G$与不一定正常的$k$-边染色$c:E(G)\to \{ 1,\ldots,k\}$，令$m_i(G)$为$G$中颜色$i$的边数，若对任意两色$i$与$j$有$m_i(G)=m_j(G)$，则称$G$为{\it 色平衡}的。若干著名开放问题与此概念相关；例如，Ryser关于拉丁方横截的猜想等价于如下陈述：每个恰当$n$-边染色的完全二部图$K_{n,n}$都有一条色平衡完美匹配。我们就Kittipassorn与Sinsap（arXiv:2011.00862v1）提出的问题——每个$k$-边染色的色平衡完全图$K_{2kn}$是否有一条色平衡完美匹配$M$——给出若干结果。对$K_{2kn}$的完美匹配$M$，其偏离色平衡的总偏差的一个自然度量为$f(M)=\sum\limits_{i=1}^k|m_i(M)-n|$。尽管并非每个色平衡完全图$K_{2kn}$都有色平衡完美匹配$M$，即满足$f(M)=0$的完美匹配，我们证明了对一般$k$存在满足$f(M)=O\left(k\sqrt{kn\ln(k)}\right)$的完美匹配$M$，而对$k=3$有$f(M)\leq 2$；$k=2$的情形此前已被研究。该问题的一个吸引人之处在于，它自然邀请将基于计数与局部交换论证的组合方法同概率与几何论证相结合。