边按圆周距离着色的完全图中的彩虹完美与近完美匹配

给定 $n$ 个顶点上的边着色完全图 $K_n$，当顶点数为偶数（分别为奇数）时，$K_n$ 中的完美（分别为近完美）匹配 $M$ 若所有边颜色互异则称为彩虹匹配。本文考虑 $K_n$ 的一种按圆周距离的边着色，并将所得完全图记为 $K^{\bullet}_n$。我们证明当 $K^{\bullet}_n$ 具有偶数个顶点时，它含有彩虹完美匹配当且仅当 $n=8k$ 或 $n=8k+2$，其中 $k$ 为非负整数。在顶点数为奇数的情形下，已知 Kirkman 匹配是 $K^{\bullet}_n$ 中的彩虹近完美匹配。然而，现实应用有时需要多个彩虹近完美匹配。我们提出一种利用递归算法在 $K^{\bullet}_n$ 中生成多个彩虹近完美匹配的方法。