随机几何图中的彩虹完美匹配与哈密顿环

给定一个有 $n$ 个顶点的图以及对边的一种着色，彩虹哈密顿环是一个长度为 $n$、访问每个顶点一次且各边颜色互不相同的环。类似地（对于偶数 $n$），彩虹完美匹配是一组 $n/2$ 条独立边且颜色互不相同。在本文中，我们证明如果我们用足够多种颜色随机着色一个随机几何图的边，则渐近几乎必然（a.a.s.）该图包含彩虹完美匹配（彩虹哈密顿环）当且仅当其最小度至少为 $1$（分别对应至少为 $2$）。更精确地，考虑从单位 $d\ge2$ 维立方体中独立且均匀地随机选取的 $n$ 个点（即顶点），对任意固定的 $d\ge2$。在这些 $n$ 个顶点上通过逐一在每对可能顶点间添加边来形成图序列。边按照长度递增的顺序添加（关于 $\ell_p$ 范数度量，对任意固定的 $1<p\le\infty$）。每次添加一条新边时，它从大小为 $\lceil Kn\rceil$ 的颜色集中均匀随机且有放回地获得一种随机颜色，其中 $K=K(d)$ 是一个足够大的固定常数。那么，a.a.s.序列中第一个最小度至少为 $1$ 的图必包含彩虹完美匹配（对于偶数 $n$），而第一个最小度至少为 $2$ 的图必包含彩虹哈密顿环。