彩虹连通数为二的命中时间

在给定边染色的图 $G$ 中，彩虹路径是指所有边颜色互异的路径。为使 $G$ 中每对顶点间至少存在一条彩虹路径所需的对边进行染色的最少颜色数，称为图 $G$ 的彩虹连通数 $rc(G)$。对于任意图 $G$，有 $rc(G) \ge diam(G)$。我们将证明，对于接近直径为 2 阈值的 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图 $G(n,p)$，若 $diam(G)=2$，则以高概率有 $rc(G)=2$。事实上，通过进一步加强这一结果，我们将证明在随机图过程中，直径为 2 的命中时间与彩虹连通数为 2 的命中时间以高概率重合。