在最优 $k$-ranking 中最大化边数

一个 $k$-ranking 是一种顶点 $k$-染色，使得若两个顶点颜色相同，则任何连接它们的路径都包含一个颜色更大的顶点。图的秩数是使得 $G$ 有一个 $k$-ranking 的最小 $k$。对于某些图 $G$，我们考虑在不改变秩数的情况下可添加到 $G$ 的最大边数。此处我们研究对于 $G=P_{2^{k-1}}$、$C_{2^{k}}$、$K_{m_{1},m_{2},\dots,m_{t}}$ 以及由两个通过一条边连接的 $K_{n}$ 副本组成的并图的该问题。除了确定在不改变秩数的情况下可添加到 $G$ 的最大边数外，我们还明确刻画了哪些边添加到 $G$ 时会改变秩数，哪些不会。