树的在线顶点排名

图 $G$ 的 $k$-排名是从 $\{1,\ldots,k\}$ 中对其顶点进行的标号，使得端点具有相同标号的任何非平凡路径都包含一个更大的标号。使 $G$ 具有 $k$-排名的最小 $k$ 值为 $G$ 的排名数，也称为树深。排名的应用包括 VLSI 设计、并行计算和工厂调度。在线排名问题要求一个算法，在 $G$ 的顶点连同所有先前已排名的顶点及它们之间的边一次一个地呈现时，对这些顶点进行排名（因此每个顶点是作为 $G$ 的一个部分标号导出子图中唯一的未排名顶点呈现的，其在 $G$ 中的最终位置未指定）。$G$ 的在线排名数是所有此类算法所能被迫使用的最大标号的最小值。我们给出了树的在线排名数关于最大度、直径和内部顶点数的界。