树上在线支配集问题的改进界

在线支配集问题是最小支配集问题的在线变体，而最小支配集是图上最重要的 NP 难问题之一。该问题定义如下：给定无向图 $G = (V, E)$，其中 $V$ 为顶点集，$E$ 为边集。我们称顶点集 $D \subseteq V$ 为 $G$ 的一个{\em 支配集}，若对每个 $v \in V \setminus D$，存在顶点 $u \in D$ 使得 $\{ u, v \} \in E$。顶点随时间逐个揭示给在线算法。当某个顶点被揭示时，该顶点与先前已揭示顶点之间的边也被揭示。任意时刻已揭示的子树都是连通的。在每个顶点揭示之后，在线算法可不可撤销地选择已经揭示的顶点，且必须维护截至目前已揭示图的支配集。算法在给定树上的代价为其所选顶点数，其目标是最小化该代价。Eidenbenz（技术报告，苏黎世联邦理工学院理论计算机科学研究所，2002）与 Boyar 等人（SWAT 2016）研究了给定图为一棵树的情形。他们设计了一个确定型在线算法，其竞争比至多为 3，并证明了任何确定型算法的竞争比下界为 2。本文同样关注树的情形。我们建立了任何确定型算法的匹配下界。此外，我们设计了一个随机化在线算法，其竞争比至多为 $5/2 = 2.5$，并证明了任何随机化算法的竞争比至少为 $4/3 \approx 1.333$。