带顶点容量的有界度图中在线匹配的紧界

我们研究二部图 $G=(S,R,E)$ 中的 $b$-匹配问题。每个顶点 $s\in S$ 是具有个体容量 $b_s$ 的服务器。顶点 $r\in R$ 是在线到达且必须立即分配给合格服务器的请求。目标是最大化所构造匹配的大小。我们假设 $G$ 是一个 $(k,d)$-图~\cite{NW}，其中 $k$ 指定每个服务器度的下界，$d$ 是每个请求度的上界。该设定建模了及时应用中的匹配问题。我们给出确定性在线算法性能的紧上界与下界。特别地，我们通过原始对偶分析开发了一种新的在线算法。对于任意 $k\geq d$，当服务器容量增大时，最优竞争比趋于~1。因此，可在线计算近乎最优的解。我们的结果也适用于顶点加权问题扩展，从而适用于每个投标者发出个体、等值出价的 AdWords 与拍卖问题。我们的界改进了先前的最佳竞争比。对于 $k/d\geq 1$ 较小这一有趣范围，渐近竞争性为~1 相对于先前的因子 $1-1/e^{k/d}$ 是显著改进。回想 $1-1/e\approx 0.63$。承认竞争比任意接近~1 的匹配问题十分罕见。先前结果依赖于随机化或概率输入模型。