度有界图上在线二分匹配的改进竞争比

我们考虑 $(k,d)$-有界图上的在线二分匹配问题，其中每个在线顶点至多拥有 $d$ 个邻居，每个离线顶点至少拥有 $k$ 个邻居，且 $k\geq d\geq 2$。$(k,d)$-有界图模型由 Naor 与 Wajc（EC 2015 与 TEAC 2018）提出，用于建模在线广告应用：离线广告主对大量广告位感兴趣，而每个在线广告位仅对少量广告主感兴趣。他们提出了确定性与随机化算法，竞争比为 $1 - (1-1/d)^k$，并证明该竞争比对确定性算法是最优的。他们还提出了开放问题：对于对抗性与随机到达模型，是否可利用随机化算法取得严格更优的竞争比。本文肯定地回答了这两个开放问题。对于对抗性到达模型，我们提出一种随机化算法，对所有 $k\geq d\geq 2$ 竞争比为 $1 - (1-1/d)^k + \Omega(d^{-4}\cdot e^{-\frac{k}{d}})$。我们还考虑随机模型并展示可取得更好的竞争比。我们证明对所有 $k\geq d\geq 2$，竞争比始终至少为 $0.8237$。我们进一步考虑每个离线顶点至多匹配 $b$ 次的 $b$-匹配问题，并给出对抗性与随机模型的若干竞争比下界。