图的 $k$-强诱导 Arboricity

图 $G$ 的诱导 Arboricity 是覆盖 $G$ 所有边所需的最小诱导森林数量。这是一个定义良好的参数，当覆盖中每个森林恰好包含一条边时，其上界为 $G$ 的边数。并非图中的所有边都必然属于具有较大连通分量的诱导森林。对于 $k\geq 1$，若一条边包含在一棵 $k$ 条边的诱导树中，则称其为 $k$-有效。图 $G$ 的 $k$-强诱导 Arboricity，记为 $f_k(G)$，是覆盖 $G$ 中所有 $k$-有效边所需的最小诱导森林数量，要求每个森林的连通分量大小至少为 $k$。该参数具有高度非单调性。然而，我们证明对于任意极小闭图类 $\mathcal{C}$，更一般地对于任意有界扩张类，以及任意 $k \geq 1$，$G \in \mathcal{C}$ 时 $f_k(G)$ 的最大值仅依赖于 $\mathcal{C}$ 和 $k$ 的常数上界。这蕴含了有界扩张类中图的相邻闭顶点可区分色数仅依赖于该类的常数上界。我们进一步证明：对任意树宽为 $t$ 的图 $G$，$f_2(G) \leq 3\binom{t+1}{3}$；对任意树深为 $d$ 的图，$f_k(G) \leq (2k)^d$。此外，我们证明当 $G$ 为平面图时，$f_2(G) \leq 310$。