强九龙树猜想在 $d \leq k+1$ 时成立

无向图 $G = (V,E)$ 的森林数 $\Gamma(G)$ 是指将 $E$ 划分为 $\Gamma(G)$ 个森林的最小数目。Nash-Williams 公式指出 $k = \lceil \gamma(G) \rceil$，其中 $\gamma(G)$ 是 $G$ 的所有子图 $(V_H, E_H)$（满足 $|V_H| \geq 2$）上 ${|E_H|}/(|V_H| -1)$ 的最大值。强九龙树猜想指出，若对 $k, d \in \mathbb N_0$ 有 $\gamma(G) \leq k + \frac{d}{d+k+1}$，则存在 $G$ 的边集划分为 $k+1$ 个森林，使得其中一个森林在每个连通分支中至多含 $d$ 条边。我们证明了该猜想在 $d \leq k + 1$ 时成立。对于 $d \leq 2(k+1)$，我们虽不能证明该猜想，但展示了存在一种划分，其中一个森林的连通分支至多含 $d + \lceil k \cdot \frac{d}{k+1} \rceil - k$ 条边。作为该定理的应用，我们证明每个 $5$-边连通平面图 $G$ 都有一棵 $\frac{5}{6}$-细生成树。该定理是最优的，在某种意义上，即使我们将 $\frac{5}{6}$ 替换为小于 $1$ 的任意正实数，也无法将 $5$-边连通替换为 $4$-边连通。这加强了 Merker 与 Postle 的结果，他们证明了 $6$-边连通平面图具有 $\frac{18}{19}$-细生成树。