超越伪森林强九龙树定理

强九龙树猜想的伪森林版本指出：若图 $G$ 的最大平均度 $\text{mad}(G) = 2 \max_{H \subseteq G} \frac{e(G)}{v(G)}$ 至多为 $2(k + \frac{d}{k+d+1})$，则它可分解为 $k+1$ 个伪森林，其中一个伪森林 $F$ 的连通分支至多含 $d$ 条边。该结论已于 2020 年证明。我们强化该定理，证明可找到这样的分解，且附加地 $F$ 是无环的，$F$ 的连通分支直径至多为 $2\ell + 2$，其中 $\ell = \lfloor\frac{d-1}{k+1} \rfloor$，且当 $d \equiv 1 \bmod k+1$ 时至多为 $2\ell + 1$。此外，对 $F$ 的任意连通分支 $K$ 及任意 $z \in \mathbb N$，若 $e(K) \geq d - z(k-1) + 1$ 则有 $diam(K) \leq 2z$。我们还表明这两个直径界均为最佳可能的，作为伪森林强九龙树猜想及其原始森林版本猜想的推广。事实上，即便仅要求 $F$ 具有任意常数最大度，而非要求 $F$ 的每个连通分支至多含 $d$ 条边，它们仍是最优的。