线性森林度猜想的改进界

1980 年，Akiyama、Exoo 和 Harary 提出线性森林度猜想，该猜想称任意最大度数为 $\Delta$ 的图 $G$ 可分解为至多 $\left\lceil \frac{\Delta}{2}\right\rceil$ 个线性森林。(若森林的所有连通分支均为路径，则称其为线性的。)1988 年，Alon 证明该猜想渐近成立。当前最佳界由 Ferber、Fox 和 Jain 于 2020 年给出，他们证明对足够大的 $\Delta$ 有 $\frac{\Delta}{2}+ O(\Delta^{.661})$ suffices。此处我们证明，若 $\Delta$ 足够大，$G$ 可分解为至多 $\frac{\Delta}{2}+ 3\sqrt{\Delta} \log^4 \Delta$ 个线性森林。此外，我们的结果在更一般的列表情形下也成立，其中边具有(可能不同的)容许线性森林集合。因此我们的界也适用于列表线性森林度猜想，该猜想仅近期由 Kim 与第二作者证明渐近成立。事实上，我们的证明方法将线性森林度猜想与著名的列表着色猜想联系在一起；相应地，我们对线性森林度猜想的误差项与 Molloy 和 Reed 于 2000 年给出的列表着色猜想最佳已知误差项相匹配。这是由于我们将每种颜色制作两份副本，然后寻求一种正常边着色，避免一种颜色与其副本之间的双色圈；我们通过巧妙改进 nibble 方法实现了这一点。